Uniqueness and asymptotic behavior of solutions with boundary blow-up for a class of nonlinear elliptic equations

Abstract

We study the uniqueness and expansion properties of the positive solutions $u$ of $(E)$ $\Delta u+hu-k{u}^p=0$ in a non-smooth domain $\Omega$, subject to the condition $u(x)\to \infty$ when $\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )\to 0$, where $h$ and $k$ are continuous functions in $\overline{\Omega }$, $k>0$ and $p>1$. When $\partial \Omega$ has the local graph property, we prove that the solution is unique. When $\partial \Omega$ has a singularity of conical or wedge-like type, we give the asymptotic behavior of $u$. When $\partial \Omega$ has a re-entrant cuspidal singularity, we prove that the rate of blow-up may not be of the same order as in the previous more regular cases.

Résumé

Nous étudions les propriétés d’unicité et de comportement limite des solutions positives $u$ de $(E)$ $\Delta u+hu-k{u}^p=0$ dans un domaine non régulier $\Omega$, sujettes à la condition $u(x)\to \infty$ quand $\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )\to 0$, où $h$ et $k$ sont des fonctions continues dans $\overline{\Omega }$, $k>0$ et $p>1$. Quand $\partial \Omega$ a la propriété du graphe local, nous démontrons que la solution est unique. Quand $\partial \Omega$ a une singularité de type conique ou dièdrale, nous donnons le comportement asymptotique de $u$. Quand $\partial \Omega$ a une singularité cuspide rentrante, nous montrons que l’ordre de l’explosion peut ne pas être le même que dans les cas précédents.