Convex symmetrization and applications

Abstract

We give a “generalized” version of the isoperimetric inequality when the perimeter is defined with respect to a convex, positively homogeneous function on $R^n$. We use it to prove that, for any function $u$ compactly supported in $R^n$, the integral of a convex function of $Du$ decreases when $u$ is rearranged in the corresponding “convex” way. Similar arguments allow us, for example, to prove comparison results for solutions of the Dirichlet problem for elliptic equations when the differential operator satisfies suitable structure assumptions.

Résumé

Nous donnons une version « généralisée å de l’inégalité isopérimétrique lorsque la définition du périmètre dépend d’une fonction convexe et positivement homogène sur $R^n$. Cette inégalité est employée pour démontrer que, pour toutes les fonctions $u$ avec support compact dans $R^n$, l’intégrale d’une fonction convexe de $Du$ décroît quand $u$ est rearrangée à une façon « convexe å. Avec des arguments du même type nous démontrons, par exemple, les résultats de comparaison pour les solutions du problème de Dirichlet pour des équations elliptiques quand l’opérateur différentiel satisfait des hypothèses de structure convenables.