Convex symmetrization and applications

  • Guido Trombetti

    Dip. di Mat. e Appl. “R. Caccioppoli”, Univ. di Napoli “Federico Il”, 80126 Napoli, Italy
  • Pierre-Louis Lions

    CEREMADE, Université de Paris-Dauphine, 75775 Paris Cedex 16, France
  • Angelo Alvino

    Dip. di Mat. e Appl. “R. Caccioppoli”, Univ. di Napoli “Federico Il”, 80126 Napoli, Italy
  • Vincenzo Ferone

    Dip. di Mat. e Appl. “R. Caccioppoli”, Univ. di Napoli “Federico Il”, 80126 Napoli, Italy

Abstract

We give a “generalized” version of the isoperimetric inequality when the perimeter is defined with respect to a convex, positively homogeneous function on . We use it to prove that, for any function compactly supported in , the integral of a convex function of decreases when is rearranged in the corresponding “convex” way. Similar arguments allow us, for example, to prove comparison results for solutions of the Dirichlet problem for elliptic equations when the differential operator satisfies suitable structure assumptions.

Résumé

Nous donnons une version « généralisée å de l’inégalité isopérimétrique lorsque la définition du périmètre dépend d’une fonction convexe et positivement homogène sur . Cette inégalité est employée pour démontrer que, pour toutes les fonctions avec support compact dans , l’intégrale d’une fonction convexe de décroît quand est rearrangée à une façon « convexe å. Avec des arguments du même type nous démontrons, par exemple, les résultats de comparaison pour les solutions du problème de Dirichlet pour des équations elliptiques quand l’opérateur différentiel satisfait des hypothèses de structure convenables.

Cite this article

Guido Trombetti, Pierre-Louis Lions, Angelo Alvino, Vincenzo Ferone, Convex symmetrization and applications. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 14 (1997), no. 2, pp. 275–293

DOI 10.1016/S0294-1449(97)80147-3