Scaling limits and regularity results for a class of Ginzburg–Landau systems

Abstract

We study a class of parabolic systems which includes the Ginzburg–Landau heat flow equation,

for $u^{ϵ}:{\mathbf{R}}^d\to {\mathbf{R}}^2$, as well as some natural quasilinear generalizations for functions taking values in ${\mathbf{R}}^k$, $k\ge 2$.

We prove that for solutions of the general system, the limiting support as $ϵ\to 0$ of the energy measure is a codimension $k$ manifold which evolves via mean curvature.

We also establish some local regularity results which hold uniformly in $ϵ$. In particular, we establish a small-energy regularity theorem for the general system, and we prove a stronger regularity result for the usual Ginzburg–Landau equation on ${\mathbf{R}}^2$.

Résumé

Nous étudions une classe de systèmes paraboliques qui comprennent l’equation de chaleur Ginzburg–Landau,

pour $u^{ϵ}:{\mathbf{R}}^d\to {\mathbf{R}}^2$, ainsi que des généralisations quasilinéaires pour des fonctions prenant leurs valeurs dans ${\mathbf{R}}^k$, $k\ge 2$.

Nous prouvons que, pour les solutions du système général, le support limite (lorsque $ϵ\to 0$) de mèsure d’énergie est une varieté de codimension $k$ qui évolue selon sa courbure moyenne.

Nous établissons en addition quelques resultats de regularité locale, qui sont valides uniformement en $ϵ$.