On the spatially homogeneous Boltzmann equation

Abstract

We consider the question of existence and uniqueness of solutions to the spatially homogeneous Boltzmann equation. The main result is that to any initial data with finite mass and energy, there exists a unique solution for which the same two quantities are conserved. We also prove that any solution which satisfies certain bounds on moments of order $s<2$ must necessarily also have bounded energy.

A second part of the paper is devoted to the time discretization of the Boltzmann equation, the main results being estimates of the rate of convergence for the explicit and implicit Euler schemes.

Two auxiliary results are of independent interest: a sharpened form of the so called Povzner inequality, and a regularity result for an iterated gain term.

Résumé

Dans cet article nous nous intéressons aux problèmes d’existence et d’unicité pour l’équation de Boltzmann homogène. Nous montrons que pour toute donnée initiale de masse et d’énergie bornées il existe une unique solution qui conserve ces deux quantités. Nous montrons aussi que si une solution possède certains moments d’ordre $s<2$ alors nécessairement elle a une énergie initiale bornée.

Dans un deuxième temps nous montrons que les schémas d’Euler explicite et implicite de discrétisation en temps de l’équation convergent et nous donnons des taux de convergence.

Pour établir ces résultats nous utilisons de nouvelles inégalités de Povzner, ainsi qu’un lemme de régularité pour le terme de gain itéré.