Geometric restrictions for the existence of viscosity solutions

Abstract

We study the Hamilton–Jacobi equation

where $F:R^N\to R$ is not necessarily convex. When $\Omega$ is a convex set, under technical assumptions our first main result gives a necessary and sufficient condition on the geometry of $\Omega$ and on $D\phi$ for (0.1) to admit a Lipschitz viscosity solution. When we drop the convexity assumption on $\Omega$, and relax technical assumptions our second main result uses the viability theory to give a necessary condition on the geometry of $\Omega$ and on $D\phi$ for (0.1) to admit a Lipschitz viscosity solution.

Résumé

Nous étudions l’équation de Hamilton-Jacobi suivante

où $F:R^N\to R$ n’est pas nécessairement convexe. Lorsque $\Omega$ est un ensemble convexe, notre premier résultat donne une condition nécessaire et suffisante sur la géométrie du domaine $\Omega$ et sur $D\phi$ afin que (0.2) admette une solution de viscosité lipschitzienne. Si on enlève la condition de convexité du domaine $\Omega$, notre second résultat permet, à l’aide du théorème de viabilité, de donner une condition nécessaire sur la géométrie du domaine $\Omega$ et sur $D\phi$ afin que (0.2) admette une solution de viscosité lipschitzienne.