A nonlinear oblique derivative boundary value problem for the heat equation Part 1: Basic results

Abstract

We study the heat equation $B_t-\Delta B=0$ in the half-plane with the nonlinear oblique derivative condition $B_X=KB{B}_Z$ on the boundary, where $(B_X,B_Z)$ are respectively the normal and the tangential derivatives of $B$. The ultimate goal is to let $K\to +\infty$ in the equations.

In this first part, we introduce self-similar solutions which verify an elliptic equation with the same nonlinear boundary condition. The main part of this first paper concerns this self-similar problem. It is well-posed and its solution is shown to be smooth, by means of boundary integral estimates. The originality of the approach is the robustness of the estimates with respect to $K$. The evolution problem itself admits global classical solutions which converge, as times tends to $+\infty$, to the self-similar solution.

Résumé

Nous étudions l’équation de la chaleur $B_t-\Delta B=0$ dans le demi-plan, avec la condition aux limites $B_X=KB{B}_Z$ sur la frontière. Il s’agit une condition oblique non linéaire, $B_X$ et $B_Z$, étant respectivement les dérivées normale et tangentielle de B sur cet axe. Notre but final est de faire tendre $K$ vers $+\infty$ dans les équations.

Ce travail est divisé en deux parties. Dans cette première partie, nous introduisons des solutions autosemblables associées à ce problème.

Ces solutions autosemblables vérifient un système elliptique, avec la même condition aux limites non linéaire sur l’axe, et l’étude de ce problème constitue la majeure partie de ce premier article. Nous prouvons, au moyen d’estimations intégrales à la frontière, qu’il est bien posé et que sa solution est régulière. L’apport de cette approche est la robustesse des estimations vis-à-vis de $K$. Le problème d’évolution proprement dit admet des solution classiques, qui convergent en temps vers la solution autosemblable.