Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2

Abstract

We look for homoclinic solutions for a class of second order autonomous Hamiltonian systems in ${\mathbf{R}}^2$ with a potential $V$ having a strict global maximum at the origin and a finite set $S\subset {\mathbf{R}}^2$ of singularities, namely $V(x)\to -\infty$ as $\mathrm{dist}(x,S)\to 0$. We prove that if $V$ satisfies a suitable geometrical property then for any $k\in N$ the system admits a homoclinic orbit turning $k$ times around a singularity $\xi \in S$.

Résumé

Nous cherchons des solutions homoclines pour une classe de systèmes hamiltoniens autonomes du second ordre dans ${\mathbf{R}}^2$ définis par un potentiel $V$ ayant un maximum global strict à l’origine et un ensemble fini $S\subset {\mathbf{R}}^2$ de singularités: $V(x)\to -\infty$ quand $\mathrm{dist}(x,S)\to 0$. Nous montrons que si $V$ vérifie une certaine propriété géométrique, alors le système possède une orbite homocline qui tourne $k$ fois autour d’une singularité $\xi \in S$.