Existence and uniqueness results on Single-Peaked solutions of a semilinear problem

Abstract

A one to one correspondence is established between the nondegenerate critical points of $Q(x)$ in $\Omega$ and single peaked solutions of the problem

where $\Omega$ is a bounded domain, $2<p<(N+2)/(N-2)$, $ϵ>0$, and $Q(x)\in C(\overline{\Omega })\cap C^2(\Omega )$.

In particular, we establish the uniqueness of the least energy solution when $Q(x)$ attains its maximum in $\overline{\Omega }$ at only one nondegenerate critical point in $\Omega$.

Résumé

On établit une correspondance biunivoque entre les points critiques non-dégénérés de $Q(x)$ en $\omega$, et les solutions à un seul pic du problème

où $\Omega$ est un domaine borné, $2<p<(N+2)/(N-2)$, $ϵ>0$, et $Q(x)\in C(\overline{\Omega })\cap C^2(\Omega )$.

En particulier, nous démontrons l’unicité de la solution de moindre énergie lorsque $Q(x)$ achève son maximum dans $\Omega$ en un seul point critique non-dégénéré.