A generalization of the Weinstein-Moser theorems on periodic orbits of a Hamiltonian system near an equilibrium

Abstract

We study the Hamiltonian system (HS) $\dot{x}=JH\prime (x)$ where $H\in C^2(R^{2N},R)$ satisfies $H(0)=0$, $H\prime (0)=0$ and the quadratic form $Q(x)=\frac{1}{2}⟨H^{″}(0)x,x⟩$ is non-degenerate. We fix ${\tau }_0>0$ and assume that $R^{2N}\cong E\oplus F$ decomposes into linear subspaces $E$ and $F$ which are invariant under the flow associated to the linearized system (LHS) $\dot{x}=JH″(0)x$ and such that each solution of (LHS) in $E$ is ${\tau }_0$-periodic whereas no solution of (LHS) in $F-0$ is ${\tau }_0$-periodic. We write $\sigma ({\tau }_0)={\sigma }_Q({\tau }_0)$ for the signature of the quadratic form $Q$ restricted to $E$. If $\sigma ({\tau }_0)\ne 0$ then there exist periodic solutions of (HS) arbitrarily close to 0. More precisely we show, either there exists a sequence $x_k\to 0$ of ${\tau }_k$-periodic orbits on the energy level $H^{-1}(0)$ with ${\tau }_k\to {\tau }_0$; or for each $\lambda$ close to 0 with $\lambda \sigma ({\tau }_0)>0$ the energy level $H^{-1}(\lambda )$ contains at least $½|\sigma ({\tau }_0)|$ distinct periodic orbits of (HS) near 0 with periods near ${\tau }_0$. This generalizes a result of Weinstein and Moser who assumed $Q\mid E$ to be positive definite.

Résumé

Nous considérons le système hamiltonien (HS) $\dot{x}=JH\prime (x)$ ou $H\in C^2(R^{2N},R)$ satisfait $H(0)=0$, $H\prime (0)=0$ et la forme quadratique $Q(x)=\frac{1}{2}⟨H^{″}(0)x,x⟩$ est non-dégénérée. Nous fixons ${\tau }_0>0$ et supposons $R^{2N}\cong E\oplus F$ est la somme des sous-espaces linéaires $E$, $F$ qui sont invariants sous le flot associé au système linéaire (LHS) $\dot{x}=JH″(0)x$. En plus chaque solution de (LHS) dans $E$ est ${\tau }_0$-périodique lorsqu’aucune des solutions de (LHS) dans $F-0$ soit ${\tau }_0$-périodique. Soit $\sigma ({\tau }_0)={\sigma }_Q({\tau }_0)$ la signature de la forme quadratique $Q$ restreint à $E$. Si $\sigma ({\tau }_0)\ne 0$ il existe des solutions périodiques de (HS) arbitrairement près de 0. Plus précisément nous démontrons que ou bien il existe une suite $x_k\to 0$ des solutions ${\tau }_k$-périodique au niveau $H^{-1}(0)$ avec ${\tau }_k\to {\tau }_0$ ou bien pour chaque $\lambda$ près de 0 tel que $\lambda \sigma ({\tau }_0)>0$ il existe au moins $\frac{1}{2}\left|\sigma \left({\tau }_0\right)\right|$ solutions périodiques au niveau $H^{-1}(\lambda )$ près de 0 avec des périodes près de ${\tau }_0$. Ce résultat généralise un théorème de Weinstein et Moser qui supposent que $Q\mid E$ est positif défini.