Abstract

We study the Hamiltonian system (HS) \( x\limits^{˙} = JH^{′}\left(x\right) \) where H ɛ C2 (ℝ2N, ℝ) satisfies H (0) = 0, H′ (0) = 0 and the quadratic form $Q\left(x\right)=\frac{1}{2}\langle H^{″}\left(0\right)x,x\rangle$ is non-degenerate. We fix τ0 > 0 and assume that ℝ2N ≅ E ⊗ F decomposes into linear subspaces E and F which are invariant under the flow associated to the linearized system (LHS) \( x\limits^{˙} \) = JH″ (0) x and such that each solution of (LHS) in E is τ0-periodic whereas no solution of (LHS) in F − 0 is τ0-periodic. We write σ(τ0) = σQ(τ0) for the signature of the quadratic form Q restricted to E. If σ(τ0) ≠ 0 then there exist periodic solutions of (HS) arbitrarily close to 0. More precisely we show, either there exists a sequence xk → 0 of τk-periodic orbits on the energy level H−1 (0) with τk → τ0; or for each λ close to 0 with λσ(τ0) > 0 the energy level H−1 (λ) contains at least ½|σ(τ0)| distinct periodic orbits of (HS) near 0 with periods near τ0. This generalizes a result of Weinstein and Moser who assumed Q∥E to be positive definite.

Résumé

Nous considérons le système hamiltonien (HS) \( x\limits^{˙} \) = JH′ (x) ou H ɛ C2 (ℝ2N, ℝ) satisfait H (0) = 0, H′ (0) = 0 et la forme quadratique $Q\left(x\right)=\frac{1}{2}\langle H^{″}\left(0\right)x,x\rangle$ est non-dégénérée. Nous fixons τ0 > 0 et supposons ℝ2N ≅ E ⊗ F est la somme des sous-espaces linéaires E, F qui sont invariants sous le flot associé au système linéaire (LHS) \( x\limits^{˙} = JH^{″}\left(0\right)x \). En plus chaque solution de (LHS) dans E est τ0-périodique lorsqu’aucune des solutions de (LHS) dans F − 0 soit τ0-périodique. Soit σ(τ0) = σQ(τ0) la signature de la forme quadratique Q restreint àE. Si σ(τ0) ≠ 0 il existe des solutions périodiques de (HS) arbitrairement près de 0. Plus précisément nous démontrons que ou bien il existe une suite xk → 0 des solutions τk-périodique au niveau H−1 (0) avec τk → τ0 ou bien pour chaque λ près de 0 tel que λσ(τ0) > 0 il existe au moins $\frac{1}{2}\left|\sigma \left({\tau }_0\right)\right|$ solutions périodiques au niveau H−1 (λ) près de 0 avec des périodes près de τ0. Ce résultat généralise un théorème de Weinstein et Moser qui supposent que Q∥E est positif défini.