Young measure solutions for nonlinear evolutionary systems of mixed type

Abstract

This is a study of measure-valued solutions for systems of mixed type modelled by a hyperbolic-elliptic and a dispersive-parabolic system in arbitrary dimension. Existence is established by time-discretisation of the equations which is solved by the minimisation of a non-convex functional. By relaxation, a Young measure solution is obtained for every time step. Uniform bounds derived by energy considerations allow passage to the limit of continuous time. The potential gradient and the identity are shown to be independent with respect to the Young measure.

Résumé

Ceci est une étude des mesures, solutions des systèmes de type mixte, modélisés par un système hyperbolique-elliptique et un système dispersif-parabolique, en dimension quelconque. Un résultat d’existence est établi par une discrétisation en la variable temps d’une équation qui est équivalente à la minimisation d’une fonctionnelle non convexe. Par relaxation, une solution, mesure de Young, est obtenue à chaque étape. Des bornes uniformes dérivant de la fonction énergie permettent de passer à la limite en temps continu. Nous prouvons que le gradient du potentiel et l’identité sont indépendants par rapport à la mesure de Young.