Homoclinic tangencies near cascades of period doubling bifurcations

Abstract

We consider perturbations of the Feigenbaum map in $n$ dimensions. In the analytic topology we prove that the maps that are accumulated by period doubling bifurcations are approximable with homoclinic tangencies. We also develop a $n$-dimensional Feigenbaum theory in the $C^r$ topology, for $r$ large enough. We apply this theory to extend the result of approximation with homoclinic tangencies for $C^r$ maps.

Résumé

On considère des perturbations de la transformation de Feigenbaum en dimension $n$. Dans la topologie analytique on prouve que les transformations qui sont accumulées par des bifurcations de duplication de période sont approchées par des tangences homocliniques. On développe aussi une théorie de Feigenbaum $n$-dimensionelle dans la topologie $C^r$, avec $r$ suffisamment grand. Cette théorie est appliquée pour étendre le résultat d’approximation par tangences homocliniques pour les transformations $C^r$.