Abstract

We develop an equivariant Ljusternik-Schnirelman theory for non-even functionals. We show that if one applies a ℤ2-equivariant min-max procedure to a non-symmetric functional ϕ, then one gets either the usual critical points, defined by ϕ′(x) = 0 or an interesting new class of points x, defined by ϕ (x) = ϕ(−x) and ϕ′(x) = λϕ′(−x) for some λ > 0. We call them “ℤ2-resonant points”; by a “virtual critical point” we understand a point which is either critical or ℤ2-resonant. We extend the classical existence and multiplicity results of Ljusternik-Schnirelman theory for critical points of even functionals to virtual critical points of non-even functionals. As an application we prove a bifurcation-type result for a class of non-homogenous semi-linear elliptic boundary value problems.

Résumé

Nous construisons une théorie de Ljusternik-Schnirelman pour des fonctionnelles non symétriques. Plus précisément, nous montrons que si l’on applique une procédure de minimax ℤ2-équivariante à une fonctionnelle non paire ϕ, l’on obtient d’une part les points critiques habituels, définis par ϕ′(x) = 0, et d’autre part des points d’un type nouveau, vérifiant, ϕ(x) = ϕ(−x) et ϕ′(x) = λϕ′(−x) pour certain λ > 0. Nous les baptisons « ℤ2-résonants å, et nous appellerons « point critiques virtuels å les points qui sont, soit critiques au sens habituel, soit ℤ2-résonants. Nous étendons alors la théorie classique de Ljusternik-Schnirelman pour les points critiques de fonctionnelles paires à la recherche des points critiques virtuels de fonctionnelles impaires. A titre d’application, nous obtenons un résultat de bifurcation pour une classe d’équations semi-linéaires elliptiques avec un second membre.