$Z_2$-equivariant Ljusternik–Schnirelman theory for non-even functionals

Abstract

We develop an equivariant Ljusternik–Schnirelman theory for non-even functionals. We show that if one applies a $Z_2$-equivariant min-max procedure to a non-symmetric functional $\phi$, then one gets either the usual critical points, defined by ${\phi }^{\prime }(x)=0$ or an interesting new class of points $x$, defined by $\phi (x)=\phi (-x)$ and ${\phi }^{\prime }(x)=\lambda {\phi }^{\prime }(-x)$ for some $\lambda >0$. We call them “$Z_2$-resonant points”; by a “virtual critical point” we understand a point which is either critical or $Z_2$-resonant. We extend the classical existence and multiplicity results of Ljusternik–Schnirelman theory for critical points of even functionals to virtual critical points of non-even functionals. As an application we prove a bifurcation-type result for a class of non-homogenous semi-linear elliptic boundary value problems.

Résumé

Nous construisons une théorie de Ljusternik–Schnirelman pour des fonctionnelles non symétriques. Plus précisément, nous montrons que si l’on applique une procédure de minimax $Z_2$-équivariante à une fonctionnelle non paire $\phi$, l’on obtient d’une part les points critiques habituels, définis par ${\phi }^{\prime }(x)=0$, et d’autre part des points d’un type nouveau, vérifiant, $\phi (x)=\phi (-x)$ et ${\phi }^{\prime }(x)=\lambda \phi ,(-x)$ pour certain $\lambda >0$. Nous les baptisons « $Z_2$-résonants å, et nous appellerons « point critiques virtuels å les points qui sont, soit critiques au sens habituel, soit $Z_2$-résonants. Nous étendons alors la théorie classique de Ljusternik–Schnirelman pour les points critiques de fonctionnelles paires à la recherche des points critiques virtuels de fonctionnelles impaires. A titre d’application, nous obtenons un résultat de bifurcation pour une classe d’équations semi-linéaires elliptiques avec un second membre.