-equivariant Ljusternik–Schnirelman theory for non-even functionals
I. Ekeland
Université Paris-Dauphine, CEREMADE, Paris, FranceN. Ghoussoub
Department of Mathematics, The University of British Columbia, Vancouver, B.C. V6T 1W2, Canada
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Abstract
We develop an equivariant Ljusternik–Schnirelman theory for non-even functionals. We show that if one applies a -equivariant min-max procedure to a non-symmetric functional , then one gets either the usual critical points, defined by or an interesting new class of points , defined by and for some . We call them “-resonant points”; by a “virtual critical point” we understand a point which is either critical or -resonant. We extend the classical existence and multiplicity results of Ljusternik–Schnirelman theory for critical points of even functionals to virtual critical points of non-even functionals. As an application we prove a bifurcation-type result for a class of non-homogenous semi-linear elliptic boundary value problems.
Résumé
Nous construisons une théorie de Ljusternik–Schnirelman pour des fonctionnelles non symétriques. Plus précisément, nous montrons que si l’on applique une procédure de minimax -équivariante à une fonctionnelle non paire , l’on obtient d’une part les points critiques habituels, définis par , et d’autre part des points d’un type nouveau, vérifiant, et pour certain . Nous les baptisons « -résonants å, et nous appellerons « point critiques virtuels å les points qui sont, soit critiques au sens habituel, soit -résonants. Nous étendons alors la théorie classique de Ljusternik–Schnirelman pour les points critiques de fonctionnelles paires à la recherche des points critiques virtuels de fonctionnelles impaires. A titre d’application, nous obtenons un résultat de bifurcation pour une classe d’équations semi-linéaires elliptiques avec un second membre.
Cite this article
I. Ekeland, N. Ghoussoub, -equivariant Ljusternik–Schnirelman theory for non-even functionals. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 15 (1998), no. 3, pp. 341–370
DOI 10.1016/S0294-1449(98)80121-2