Complete blow up and global behaviour of solutions of ut − Δu = g(u)

Abstract

For $u_0\in L^{\infty }(\Omega )$, $u_0\ge 0$, we study the global behaviour of solutions of the nonlinear heat equation (1). The domain $\Omega$ is smooth and bounded and the nonlinearity $g$ is nonnegative, nondecreasing and convex.

We show in particular that any nondecreasing solution blowing up at the finite time $T_{\max }$ blows up completely in $\Omega$ after $T_{\max }$. We apply this result to the description of all possible global behaviours of the solutions of (1) according to the value of $\lambda$. We show similar results when we introduce a notion of complete blow up in infinite time.

Résumé

Pour $u_0\in L^{\infty }(\Omega )$, $u_0\ge 0$, on étudie le comportement global des solutions de l’équation de la chaleur non-linéaire

Le domaine $\Omega$ est borné régulier, et la nonlinéarité $g$ est positive, croissante et convexe.

On montre en particulier que toute solution croissante explosant au temps fini $T_{\max }$ explose totalement dans $\Omega$ après $T_{\max }$. On applique ce résultat à la description des comportements globaux possibles des solutions de (1) en fonction de $\lambda$. On montre des résultats similaires pour une notion d’explosion totale en temps infini que l’on introduit.