A nonlinear oblique derivative boundary value problem for the heat equation Part 2: Singular self-similar solutions

  • Florian Mehats

    Centre de Mathématiques Appliquées URA CNRS 756 École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France
  • Jean-Michel Roquejoffre

    UFR-MIG, Université de Toulouse III UMR CNRS 5640 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France

Abstract

This paper continues the study started in [12]. In the upper half-plane, consider the elliptic equation , submitted to the nonlinear oblique derivative boundary condition on the axis . The solution of this problem appears to be the self-similar solution of the heat equation with the same boundary condition. As goes to , the function converges to the non trivial solution of the corresponding degenerate problem. Moreover there exists such that vanishes for , is on , is continuous on the boundary and is discontinuous on the half-axis .

Résumé

Cet article poursuit l’étude commencée dans [12]. Soit, dans le demi-plan supérieur, l’équation elliptique , soumise à la condition aux limites à dérivée oblique non linéaire sur l’axe . La solution de ce problème apparaît comme la solution autosemblable de l’équation de la chaleur soumise à la même condition aux limites. Lorsque tend vers , la fonction converge vers la solution du problème dégénéré correspondant. De plus il existe un réel tel que s’annule pour , est sur , est continue sur la frontière et discontinue sur le demi-axe .

Cite this article

Florian Mehats, Jean-Michel Roquejoffre, A nonlinear oblique derivative boundary value problem for the heat equation Part 2: Singular self-similar solutions. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 16 (1999), no. 6, pp. 691–724

DOI 10.1016/S0294-1449(00)88184-6