A nonlinear oblique derivative boundary value problem for the heat equation Part 2: Singular self-similar solutions

Abstract

This paper continues the study started in [12]. In the upper half-plane, consider the elliptic equation $-U_{xx}^{\epsilon }-\epsilon U_{zz}^{\epsilon }-\frac{1}{2}(x{U}_x+z{U}_z)=0$, submitted to the nonlinear oblique derivative boundary condition $U_x=U{U}_z$ on the axis $x=0$. The solution of this problem appears to be the self-similar solution of the heat equation with the same boundary condition. As $\epsilon$ goes to $0$, the function $U^{\epsilon }$ converges to the non trivial solution $U$ of the corresponding degenerate problem. Moreover there exists $z_0>0$ such that $U$ vanishes for $z\ge z_0$, is $C^{\infty }$ on $]0,z_0[\times R_{+}$, is continuous on the boundary $x=0$ and is discontinuous on the half-axis $\{z=0,x>0\}$.

Résumé

Cet article poursuit l’étude commencée dans [12]. Soit, dans le demi-plan supérieur, l’équation elliptique $-U_{xx}^{\epsilon }-\epsilon U_{zz}^{\epsilon }-\frac{1}{2}(x{U}_x+z{U}_z)=0$, soumise à la condition aux limites à dérivée oblique non linéaire $U_x=U{U}_z$ sur l’axe $x=0$. La solution de ce problème apparaît comme la solution autosemblable de l’équation de la chaleur soumise à la même condition aux limites. Lorsque $\epsilon$ tend vers $0$, la fonction $U^{\epsilon }$ converge vers la solution $U$ du problème dégénéré correspondant. De plus il existe un réel $z_0>0$ tel que $U$ s’annule pour $z\ge z_0$, est $C^{\infty }$ sur $]0,z_0[\times R_{+}$, est continue sur la frontière $x=0$ et discontinue sur le demi-axe $\{z=0,x>0\}$.