Abstract

This paper continues the study started in [12]. In the upper half-plane, consider the elliptic equation −Uxxε−εUzzε−½(xUx + zUz) = 0, submitted to the nonlinear oblique derivative boundary condition Ux = UUz on the axis x = 0. The solution of this problem appears to be the self-similar solution of the heat equation with the same boundary condition. As ε goes to 0, the function Uε converges to the non trivial solution U of the corresponding degenerate problem. Moreover there exists z0 > 0 such that U vanishes for z ≥ z0, is C∞ on ]0, z0[× ℝ+, is continuous on the boundary x = 0 and is discontinuous on the half-axis {z = 0, x > 0}.

Résumé

Cet article poursuit l’étude commencée dans [12]. Soit, dans le demi-plan supérieur, l’équation elliptique −Uxxε−εUzzε−½(xUx + zUz) = 0, soumise à la condition aux limites à dérivée oblique non linéaire Ux = UUz sur l’axe x = 0. La solution de ce problème apparaît comme la solution autosemblable de l’équation de la chaleur soumise à la même condition aux limites. Lorsque ε tend vers 0, la fonction Uε converge vers la solution U du problème dégénéré correspondant. De plus il existe un réel z0 > 0 tel que U s’annule pour z ≥ z0, est C∞ sur ]0, z0[× ℝ+, est continue sur la frontière x = 0 et discontinue sur le demi-axe {z = 0, x > 0}.