Hyperbolic characteristics on star-shaped hypersurfaces

Abstract

In this paper, we study the stability of closed characteristics on a starshaped compact smooth hypersurface $\Sigma$ in $R^{2n}$. We show that the Maslov-type mean index of such a closed characteristic is independent of the choice of the Hamiltonian functions, and prove that on $\Sigma$ either there are infinitely many closed characteristics, or there exists at least one nonhyperbolic closed characteristic, provided every closed characteristic possesses its Maslov-type mean index greater than $2$ when $n$ is odd, and greater than $1$ when $n$ is even.

Résumé

Soit $\Sigma$ une hypersurface étoilée compacte, $C^2$, dans $R^{2n}$, qui est obtenue par la méthode de variation directe. Dans cet article, nous étudions la stabilité des caractéristiques fermées sur $\Sigma$. Nous démontrons que l’indice moyen de type de Maslov d’une telle caractéristique fermée ne dépend pas du choix des fonctions Hamiltoniennes. Si on suppose qu’il n’existe qu’un nombre fini de caractéristiques fermées, alors il existe au moins une caractéristique fermée nonhyperbolique sur $\Sigma$ si pour toute caractéristique fermée sur $\Sigma$, son indice moyen de type de Maslov est supérieur à $2$, et si $n$ est impair (resp. $1$, et si $n$ est pair).