On the minimizers of the Ginzburg–Landau energy for high kappa: the axially symmetric case

Abstract

The Ginzburg–Landau theory of superconductivity is examined in the case of a special geometry of the sample, the infinite cylinder. We restrict to axially symmetric solutions and consider models with and without vortices. First putting the Ginzburg–Landau parameter $\kappa$ formally equal to infinity, the existence of a minimizer of this reduced Ginzburg–Landau energy is proved. Then asymptotic behaviour for large $\kappa$ of minimizers of the full Ginzburg–Landau energy is analyzed and different convergence results are obtained. Our main result states that, when $\kappa$ is large, the minimum of the energy is reached when there are about $\kappa$ vortices at the center of the cylinder. Numerical computations illustrate the various behaviours.

Résumé

Le modèle de Ginzburg–Landau des supraconducteurs est étudié dans le cas d’une géométrie cylindrique pour des solutions radiales, avec et sans vortex. Quand le paramètre de Ginzburg–Landau est infini, on prouve l’existence d’un minimum pour une énergie réduite. Puis on étudie le comportement asymptotique des minimiseurs pour $\kappa$ grand et on obtient différents résultats de convergence. On montre en particulier que l’énergie est minimum pour une configuration où le nombre de vortex au centre du cylindre est de l’ordre de $\kappa$. Des calculs numériques illustrent les divers comportements.