A new approach to young measure theory, relaxation and convergence in energy

Abstract

The main idea of this paper is to reduce analysis of behavior of integral functionals along weakly convergent sequences to operations with Young measures generated by these sequences. We show that Young measures can be characterized as measurable functions with values in a special compact metric space and that these functions have a spectrum of properties sufficiently broad to realize this idea.

These new observations allow us to give simplified proofs of the results of gradient Young measure theory and to use them for deriving the results on relaxation and convergence in energy under optimal assumptions on integrands.

We think that this work helps to clarify role of Young measures.

Résumé

L’idée principale de cet article est de ramener l’analyse du comportement de fonctionnelles intégrales portant sur des suites faiblement convergentes à des opérations sur les mesures de Young associées à ces suites. Nous montrons que les mesures de Young peuvent être caractérisées comme des fonctions mesurables à valeurs dans un certain espace métrique compact et que ces fonctions ont un ensemble de propriétés suffisament large pour mettre en œuvre cette idée.

Ces nouvelles observations nous permettent de donner des démonstrations simplifiées de résultats en théorie du gradient des mesures de Young et de les utiliser pour obtenir des résultats sur la relaxation et la convergence en énergie sous des hypothèses optimales sur les intégrandes.

Nous pensons aussi que ce travail aide à clarifier le rôle des mesures de Young.