Infinitely many coexisting strange attractors

Abstract

We prove that $C^{\infty }$ diffeomorphisms of a two-dimension manifold $M$ with a homoclinic tangency are in the closure of an open set of ${\mathrm{Diff}}^{\infty }(M)$ containing a dense subset of diffeomorphisms exhibiting infinitely many coexisting Hénon-like strange attractors (or repellers). A similar statement is posed in terms of one-parameter $C^{\infty }$ families of diffeomorphisms unfolding a homoclinic tangency. Moreover, we show the existence of infinitely many dynamical phenomena others than strange attractors.

Résumé

Nous considérons les difféomorphismes $C^{\infty }$ d’une variété bidimensionnelle $M$ qui exhibent une tangence homoclinique. Nous démontrons qu’ils appartiennent à la fermeture d’un ensemble ouvert de ${\mathrm{Diff}}^{\infty }(M)$ admettant un sous-ensemble dense de difféomorphisme exhibant une infinité d’attracteurs ou de répulseurs étranges de type Hénon. Nous énonçons un résultat similaire en termes de families $C^{\infty }$ à un paramètre de difféomorphismes présentant une tangence homoclinique. De même nous montrons l’existence d’une infinité d’autres phénomènes dynamiques à côté des attracteurs étranges.