Saddle-focus singular cycles and prevalence of hyperbolicity

Abstract

The objective of this work is to study the 2-parameter unfolding of an intricate bifurcating dynamical structure in dimension 3, namely a saddle-focus singular cycle. It is showed that hyperbolicity is a prevalent phenomena: the initial system is a total density point of hyperbolic dynamics. This dynamic exhibit either simple critical elements or nontrivial basic set. It seems to be the first time that non-trivial hyperbolicity (as well as its prevalence) is proved for the maximal invariant set for a perturbation of a vector field with a cycle containing a saddle-focus singularity.

Résumé

L’objectif de ce travail est l’étude du développement à 2 paramètres d’une structure dynamique complexe avec bifurcation en dimension 3, à savoir un cycle singulier « selle-foyer å. Nous montrons que l’hyperbolicité est un pénomène prévalant : le système initial est un point de densité totale de dynamiques hyperboliques. Cette dynamique présente ou bien des éléments critiques simples ou un ensemble fondamental non trivial. Cela semble le premier ensemble où l’hyperbolicité non triviale (et sa prévalence) est prouvée pour l’ensemble invariant maximal pour une perturbation d’un champ vecteur à un cycle contenant une singularité « selle-foyer å.