Ergodic problem for the Hamilton–Jacobi–Bellman equation. I. Existence of the ergodic attractor

Abstract

The problem of the convergence of the terms $\lambda u{\lambda }_{(}x),\ne u(x,T)$ in the Hamilton–Jacobi–Bellman equations (HJBs) as $\lambda$ tends to $+0$, $T$ goes to $+\infty$, to the unique number is called the ergodic problem of the HJBs. We show in this paper what kind of qualitative properties exist behind this kind of convergence. The existence of the ergodic attractor is shown in Theorems 1 and 2. Our solutions of HJBs satisfy the equations in the viscosity solutions sense.

Résumé

Le problème de la convergence des termes $\lambda u_{\lambda }\left(x\right),\frac{1}{T}u\left(x,T\right)$ dans les équations de Hamilton–Jacobi–Bellman (HJBs) quand $\lambda$ tends vers $+\infty$, $T$ tends vers $+\infty$, vers le numéro unique s’appelle le problème ergodique des HJBs. Nous montrons ici les propriétés qualitatives qui existent derrière ce type de convergence. L’existence de l’attracteur ergodique est démontrée dans les Théorèmes 1 et 2. Nos solutions des HJBs satisfont les équations au sens de la solution de la viscosité.