On the arithmetic sum of regular Cantor sets

Abstract

We prove here that for any pair of regular Cantor sets in the line, either its arithmetic sum has Lebesgue measure zero or the pair can be approximated (through the image of a smooth diffeomorphism) by another one whose arithmetic sum contains an interval. The latter occurs when the Hausdorff dimension of the product of the sets is bigger than one.

Résumé

Nous démontrons que pour toute paire d’ensembles de Cantor réguliers sur la droite, ou bien leur somme arithmétique est de mesure de Lebesgue nulle, ou bien la paire peut être approchée (par l’image d’un difféomorphisme) par une autre dont la somme arithmétique contient un intervalle. Le dernier cas se produit quand la dimension de Hausdorff du produit des ensembles est plus grande que 1.