Un théorème de rigidité différentielle

Abstract

Nous démontrons dans cet article le résultat de rigidité suivant, concernant le volume minimal d'une variété lisse fermée de dimension $\ge 3$ . Théorème: soient N et M deux variétés lisses, fermées, orientées de même dimension $n\ge 3$ . On suppose que M est munie d'une métrique hyperbolique g0. Si $f:N\to M$ est une application continue de degré non nul telle que $\mathrm{Minvol}(N)=|\mathrm{deg}f|{\mathrm{vol}}_{g_0}(M)$ , alors N est une variété hyperbolique et f est homotope à un revêtement riemannien. La preuve repose sur l'utilisation de théorèmes de convergence riemannienne à la Gromov [GLP], et sur l'adaptation de la construction de Besson, Courtois, Gallot [BCG]. L'une des applications intéressantes est que le volume minimal n'est pas un invariant du type topologique de la variété, mais de la structure différentielle. Il n'est pas non plus additif par somme connexe.