A motivic isomorphism between two projective homogeneous varieties under the action of a group of type $G_2$

Abstract

Dans tout cet article, on désigne par $k$ un corps de caractéristique différente de 2 et on appelle variété tout $k$-schéma séparé et de type fini. L'objet du présent article est d'étudier $\mathcal{X}({\alpha }_1)$ et $\mathcal{X}({\alpha }_2)$, les variétés homogènes projectives associées à chacune des deux racines d'un groupe de type $G_2$. La première d'entre elles, $\mathcal{X}({\alpha }_1)$, est une quadrique projective de dimension 5 associée à une voisine de Pfister et l'autre, $\mathcal{X}({\alpha }_2)$, est une variété de Fano (de genre $10$). Ces deux variétés ne sont pas isomorphes, pourtant elles le deviennent en tant qu'objets d'une catégorie plus large, à savoir la catégorie des correspondances (et par conséquent également dans la catégorie des motifs de Chow). Nous établissons que ce résultat est vrai que les variétés soient déployées ou non. En première partie, nous rappelons quelques résultats classiques sur les algèbres d'octonions et construisons un modèle d'algèbre d'octonions déployée. En seconde partie, étape importante de notre travail, nous construisons une structure cellulaire de $\mathcal{X}({\alpha }_2)$ lorsqu'elle est déployée. C'est également dans cette partie que nous déterminons la structure de l'anneau de Chow déployé de la variété $\mathcal{X}({\alpha }_2)$. Enfin, en troisième partie, après avoir introduit nos notations et rappelé les résultats nécessaires sur la catégorie des correspondances, nous établissons l'isomorphisme motivique en toute généralité.