A simple counterexample to Havil’s “reformulation” of the Riemann Hypothesis

Abstract

Die Riemannsche Vermutung ist das derzeit berühmteste ungelöste Problem der Mathematik. Sie betrifft die Nullstellen der Riemannschen $\zeta$-Funktion. Bereits Euler kannte deren Verbindung zu den Primzahlen, und ein Beweis der Riemannschen Vermutung hätte unter anderem weitreichende Folgen in der Zahlentheorie. Insbesondere liesse sich die Restgliedabschätzung von Helge von Koch im Primzahlsatz daraus ableiten. In seinem Buch Gamma: Exploring Euler's Constant formuliert J. Havil eine Vermutung über ein Paar von trigonometrischen Reihen und stellt eine Verbindung zur Riemannschen Vermutung her. Der Autor des vorliegenden Beitrags legt nun aber ein Beispiel vor, welches die Vermutung von Havil widerlegt, jedoch nicht die Riemannsche Vermutung. Zudem wird bewiesen, dass eine abgeschwächte Form der Vermutung von Havil tatsächlich äquivalent zur Riemannschen Vermutung ist.