The feet of the altitudes of a simplex

Abstract

Im Unterricht in Elementargeometrie gehören die Höhen im Dreieck zum Standardstoff. Die Verallgemeinerung auf das Tetraeder im Raum liefert gelegentlich Material für Maturitätsaufgaben, etwa Berechne den der Ecke $A$ gegenüberliegenden Höhenfusspunkt $F_A$ im Tetraeder $ABCD$ aus den Koordinaten der Eckpunkte. Es zeigt sich, dass es ein erstaunlich einfaches und kompaktes Verfahren für die simultane Berechnung aller Höhenfusspunkte eines $n$-dimensionalen Simplex gibt. Dieses funktioniert für alle Dimensionen $n\ge 1$ und beruht auf der Verwendung homogener Koordinaten und projektiver Räume. Nach einer kurzen Einführung dieser Begriffe werden zunächst alle Seitenflächen eines Simplex mit einer einzigen Matrixinversion berechnet.