The feet of the altitudes of a simplex

Abstract

Im Unterricht in Elementargeometrie geh\"oren die H\"ohen im Dreieck zum Standardstoff. Die Verallgemeinerung auf das Tetraeder im Raum liefert gelegentlich Material f\"ur Maturit\"atsaufgaben, etwa {\it Berechne den der Ecke $A$ gegen\"uberliegenden H\"ohenfusspunkt $F_A$ im Tetraeder $ABCD$ aus den Koordinaten der Eckpunkte\/}. Es zeigt sich, dass es ein erstaunlich einfaches und kompaktes Verfahren f\"ur die simultane Berechnung {\it aller\/} H\"ohenfusspunkte eines $n$-dimensionalen Simplex gibt. Dieses funktioniert f\"ur alle Dimensionen $n\ge 1$ und beruht auf der Verwendung homogener Koordinaten und projektiver R\"aume. Nach einer kurzen Einf\"uhrung dieser Begriffe werden zun\"achst alle Seitenfl\"achen eines Simplex mit einer einzigen Matrixinversion berechnet.