JournalsemVol. 63 , No. 1DOI 10.4171/em/83

The feet of the altitudes of a simplex

  • Arthur Gut

    Kantonsschule Zürich-Oerlikon, Switzerland
  • Jörg Waldvogel

    ETH-Zürich, Switzerland
The feet of the altitudes of a simplex cover

Abstract

Im Unterricht in Elementargeometrie geh\"oren die H\"ohen im Dreieck zum Standardstoff. Die Verallgemeinerung auf das Tetraeder im Raum liefert gelegentlich Material f\"ur Maturit\"atsaufgaben, etwa {\it Berechne den der Ecke AA gegen\"uberliegenden H\"ohenfusspunkt FAF_A im Tetraeder ABCDABCD aus den Koordinaten der Eckpunkte\/}. Es zeigt sich, dass es ein erstaunlich einfaches und kompaktes Verfahren f\"ur die simultane Berechnung {\it aller\/} H\"ohenfusspunkte eines nn-dimensionalen Simplex gibt. Dieses funktioniert f\"ur alle Dimensionen n1n\ge1 und beruht auf der Verwendung homogener Koordinaten und projektiver R\"aume. Nach einer kurzen Einf\"uhrung dieser Begriffe werden zun\"achst alle Seitenfl\"achen eines Simplex mit einer einzigen Matrixinversion berechnet.