Multiple Poles at Negative Integers for ${\int }_A{f}^{\lambda }☐$ in the Case of an Almost Isolated Singularity

Abstract

We give a necessary and sufficient topological condition on $A\in H^0(\{f\ne 0\},C)$, for a real analytic germ $f:(R^{n+1},0)\to (R,0)$, whose complexification has an isolated singularity relatively to the eigenvalue 1 of the monodromy, in order that the meromorphic continuation of ${\int }_A{f}^{\lambda }☐$ has a multiple pole at sufficiently “large” negative integers. We show that if such a multiple pole exists, it occurs already at $\lambda =-(n+1)$ with its maximal order which is computed topologically.

Résumé

Nous donnons une condition necessaire et suffisante topologique sur $A\in H^0(\{f\ne 0\},C)$, pour un germe analytique réel $f:(R^{n+1},0)\to (R,0)$, dont la complexifiée présente une singularité isolée relativement á la valeur propre 1 de la monodromie, pour que le prolongement analytique de ${\int }_A{f}^{\lambda }☐$ présente un pôle multiple aux entiers négatifs assez “grands.” On montre en particulier que si un tel pôle multiple existe, il apparaît déjà pour $\lambda =-(n+1)$ avec l'ordre maximal que nous calculons topologiquement.