Algèbre Homologique des $N$-Complexes et Homologie de Hochschild aux Racines de l'Unité

Abstract

We set up a homological algebra for $N$-complexes, which are graded modules together with a degree $-1$ endomorphism $d$ satisfying $d^N=0$. We define $\mathrm{Tor}$- and $\mathrm{Ext}$-groups for $N$-complexes and we compute them m terms of their classical counterparts ($N=2$) As an application, we get an alternative définition of thé Hochschild homology of an associative algebra out of an $N$-complex whose differential is based on a primitive $N$-th root of unity.

Résumé

Nous développons une algèbre homologique pour les $N$-complexes, c'est-à-dire pour des modules gradues mums d'un endomorphisme d de degré $-1$ tel que $d^N=0$. Dans ce cadre nous définissons des groupes $\mathrm{Tor}$ et $\mathrm{Ext}$ que nous calculons en fonction des groupes $\mathrm{Tor}$ et $\mathrm{Ext}$ classiques ($N=2$). Comme application, nous obtenons l'homologie de Hochschild d'une algèbre associative comme l'homologie d'un $N$-complexe dont la différentielle s'exprime à l'aide d'une racine primitive $N$-ième de l'unité.