Le calcul fonctionnel sous-linéaire dans les espaces de Besov homogènes

Abstract

On établit l'estimation sous-linéaire $\Vert f\circ g\Vert \le c(f)\Vert g\Vert$, la norme étant celle de l'espace de Besov homogène ${\dot{B}}_p^{s,q}({\mathbb{R}}^n)$, où $1\le p<+\infty$, $1\le q\le +\infty$ et $0<s<1+(1/p)$. La fonction $f$ est supposée appartenir à une classe $U_p^1$ introduite antérieurement par Bourdaud et Kateb, qui contient notamment les primitives des fonctions à variation bornée sur $\mathbb{R}$. À titre d'application, on montre qu'une fonction étagée appartient à ${\dot{B}}_1^{1,\infty }({\mathbb{R}}^2)$ si et seulement si elle appartient à $BV({\mathbb{R}}^2)$.