Paraproduit sur le groupe de Heisenberg et applications

Abstract

We adapt the homogeneous Littlewood–Paley decomposition on the Heisenberg group constructed by H. Bahouri, P. Gérard and C.-J Xu in [4] to the inhomogeneous case, which enables us to build paraproduct operators, similar to those defined by J.-M. Bony in [5]; although there is no simple formula for the Fourier transform of the product of two functions, some spectral localization properties of the classical case are preserved on the Heisenberg group after the product has been taken. Using the dyadic decomposition and the paraproduct algorithm, we prove the Gagliardo–Nirenberg inequality on the Heisenberg group; the smoothness of solutions of subelliptic, semi-linear systems is also studied, as well as semi-linear wave equations.

Résumé

En adaptant au cas inhomogène la décomposition de Littlewood–Paley homogène sur le groupe de Heisenberg introduite par H. Bahouri, P. Gérard et C.-.J Xu dans [4] on construit des opérateurs de paraproduit analogues à ceux définis par J.-.M Bony dans [5]; malgré le fait que l'on ne dispose pas de formule simple pour la transformée de Fourier d'un produit des propriétés de localisation spectrale du cas classique sont préservées sur le groupe de Heisenberg après passage au produit. A partir du découpage dyadique et du paraproduit on démontre l'inégalité de Gagliardo–Nirenberg sur le groupe de Heisenberg et l'on étudie la régularité des solutions de systèmes sous-elliptiques semi-linéaires ainsi que des équations d'ondes semi-linéaires.