Evolution d'une singularité de type cusp dans une poche de tourbillon

Abstract

Dans cet article on étudie l'évolution de singularités dans la frontière de poches de tourbillon pour les équations de la mécanique des fluides incompressible en dimension deux. On s'intéresse en particulier aux singularites de type cusp qui, d'après des simulations numériques réecentes, semblent stables. On prouve ici que le champ de vitesse engendré par une poche de tourbillon ayant un cusp est lipschitzien (ce qui n'est pas le cas pour une singularité de type coin par exemple). On établit alors un résultat de persistance globale en temps d'un certain type de regularité conormale du tourbillon par rapport à une famille de champs de vecteurs s'annulant en un point singulier et qui généralise la structure de cusp. On en déduit en particulier la stabilité pour tout temps du cusp avec conservation de l'ordre d'effilement.