Evolution d'une singularité de type cusp dans une poche de tourbillon

Abstract

We investigate the evolution of singularities in the boundary of a vortex patch for two-dimensional incompressible Euler equations. We are particularly interested in cusp-like singularities which, according to numerical simulations, are stable. In this paper, we first prove that, unlike the case of a corner-like singularity, the cusp-like singularity generates a lipschitzian velocity. We then state a global result of persistence of conformal regularity with respect to vector fields vanishing at a singular point, which generalizes the structure of cusp. This entails the stability of cusp-like structures for all time with conservation of the order of the cusp.

Résumé

Dans cet article, on étudie l'évolution de singularités dans la frontière de poches de tourbillon pour les équations de la mécanique des fluides incompressible en dimension deux. On s'intéresse en particulier aux singularités de type cusp qui, d'après des simulations numériques réecentes, semblent stables.

On prouve ici que le champ de vitesse engendré par une poche de tourbillon ayant un cusp est lipschitzien (ce qui n'est pas le cas pour une singularité de type coin par exemple). On établit alors un résultat de persistance globale en temps d'un certain type de régularité conormale du tourbillon par rapport à une famille de champs de vecteurs s'annulant en un point singulier et qui généralise la structure de cusp.

On en déduit en particulier la stabilité pour tout temps du cusp avec conservation de l'ordre d'effilement.