Local limit theorems on some non unimodular groups

Abstract

Let $G_d$ be the semi-direct product of ${\mathbb{R}}^{\ast +}$ and ${\mathbb{R}}^d$, $d\ge 1$ and let us consider the product group $G_{d,N}=G_d\times {\mathbb{R}}^N$, $N\ge 1$. For a large class of probability measures $\mu$ on $G_{d,N}$, one proves that there exists $\rho (\mu )\in ]0,1]$ such that the sequence of finite measures

converges weakly to a non-degenerate measure.

Résumé

Soit $G_d$ le produit semi-direct de ${\mathbb{R}}^{\ast +}$ et de ${\mathbb{R}}^d$ et $G_{d,N}$ le groupe produit $G_d\times {\mathbb{R}}^N$, $N\ge 0$. Pour une large classe de mesures de probabilité sur $G_{d,N}$ nous montrons qu'il existe $\rho (\mu )\in ]0,1]$ tel que la suite de mesures finies

converge vaguement vers une mesure non nulle.