Unrectictifiable 1-sets have vanishing analytic capacity

Abstract

We complete the proof of a conjecture of Vitushkin that says that if $E$ is a compact set in the complex plane with finite 1-dimensional Hausdorff measure, then $E$ has vanishing analytic capacity (i.e., all bounded analytic functions on the complement of $E$ are constant) if and only if $E$ is purely unrectifiable (i.e., the intersection of $E$ with any curve of finite length has zero 1-dimensional Hausdorff measure). As in a previous paper with P. Mattila, the proof relies on a rectifiability criterion using Menger curvature, and an extension of a construction of M. Christ. The main new part is a generalization of the $T(b)$-Theorem to some spaces that are not necessarily of homogeneous type.

Résumé

On complète la démonstration d'une conjecture de Vitushkin si $E$ est une partie compacte du plan complexe de mesure de Hausdorff unidimensionelle nulle, alors $E$ est de capacité analytique nulle (toute fonction analytique bornée sur le complémantaire de $E$ est consante) si et seulement si $E$ est totalement non rectifiable (l'intersection de $E$ avec toute courbe de longueur finie est de mesure de Hausdorff nulle). Comme dans un papier précédent avec P. Mattila, la démonstration sur un critère de rectifiabilité utilisant la courbure de Menger, et une extension d'une construction de M Christ. L'élément nouveau principal est une généralisation du théorème $T(b)$ sur certains espaces qui ne sont pas nécessairement de type homogène.