Filtration relative, l’idéal de Bernstein et ses pentes

Abstract

Let $f_i:X\to \mathbf{C}$ , for $i$ integer between $1$ and $p$ , be analytic functions defined on a complex analytic variety $X$. Let us consider ${\mathcal{D}}_X$ , the ring of linear differential operators and ${\mathcal{D}}_X[s_1,\dots ,s_p]={\mathbf{C}}_X[s_1,\dots ,s_p]{\otimes }_{\mathbf{C}}{\mathcal{D}}_X$. Let $m$ be a section of a holonomic ${\mathcal{D}}_X$ -module. We denote $\mathcal{B}(m,x_0,f_1,\dots ,f_p)$ the ideal of $\mathbf{C}[s_1,\dots ,s_p]$ constituted by the polynomials $b$ satisfying in the neighborhood of $x_0\in X$:

This ideal is called Bernstein’s ideal. C. Sabbah showed the existence for every $x_0\in X$ of a finite set $\mathcal{H}$ of linear forms with coefficients in $\mathbf{N}$ , such that

where ${\alpha }_{H,i}$ are complex numbers. The purpose of this article is to show in particular the existence of a minimal set $\mathcal{H}$ . In addition, when $m$ is a section of a holonomic regular ${\mathcal{D}}_X$-module, we will precise geometrically this set from the characteristic variety of ${\mathcal{D}}_X$-module generated by $m$. We introduce and study especially the relative characteristic variety of the ${\mathcal{D}}_X[s_1,\dots ,s_p]$ -modules related to our problem. This allows to specify the structure of the Bernstein’s ideals.

Résumé

Soit $f_i:X\to \mathbf{C}$, pour $i$ entier compris entre $1$ et $p$, des fonctions analytiques définies sur une variété analytique complexe $X$. Considérons ${\mathcal{D}}_X$l’anneau des opérateurs différentiels et ${\mathcal{D}}_X[s_1,\dots ,s_p]={\mathbf{C}}_X[s_1,\dots ,s_p]{\otimes }_{\mathbf{C}}{\mathcal{D}}_X$. Soit $m$ une section d’un ${\mathcal{D}}_X$-module holonome, notons $\mathcal{B}(m,x_0,f_1,\dots ,f_p)$ l’idéal de $\mathbf{C}[s_1,\dots ,s_p]$ des polynômes $b$ vérifiant au voisinage de $x_0$:

C. Sabbah montre l’existence pour tout $x_0\in X$ d’un ensemble fini $\mathcal{H}$ de formes linéaires à coefficients premiers entre eux dans $\mathbf{N}$ telles que

où ${\alpha }_{H,i}$ sont des nombres complexes. L’objet de cet article est notamment de montrer l’existence d’un ensemble $\mathcal{H}$ minimal. De plus, lorsque $m$ est une section d’un module holome régulier, nous expliciterons cet ensemble géométriquement à partir de la variété caractéristique du système différentiel engendré par $m$. Nous étudions en particulier les variétés caractéristiques relatives des ${\mathcal{D}}_X[s_1,\dots ,s_p]$-modules liés à notre problème, ce qui nous permet de préciser la structure des idéaux de Bernstein.