Asymmetric elliptic problems with indefinite weights

Abstract

We prove the existence of a first nontrivial eigenvalue for an asymmetric elliptic problem with weights involving the laplacian (cf. (1.2) below) or more generally the $p$-laplacian (cf. (1.3) below). A first application is given to the description of the beginning of the Fučik spectrum with weights for these operators. Another application concerns the study of nonresonance for the problems (1.1) and (1.5) below. One feature of our nonresonance conditions is that they involve eigenvalues with weights instead of pointwise restrictions.

Résumé

Nous démontrons l'existence d'une première valeur propre non triviale pour un problème asymétrique avec poids faisant intervenir le laplacien (cf. (1.2) ci-dessous) ou plus généralement le $p$-laplacien (cf. (1.3) ci-dessous). Une première application consiste en la description du début du spectre de Fučik avec poids pour ces opérateurs. Une autre application concerne l'étude de la nonrésonance pour les problèmes (1.1) et (1.5) ci-dessous. Une caractéristique de nos conditions de nonrésonance est qu'elles font intervenir des valeurs propres avec poids, plutôt que des restrictions ponctuelles.