A nonexistence result for Yamabe type problems on thin annuli

Abstract

Given any constant $C>0$, we show that there exists ${\epsilon }_0>0$ such that for any $\epsilon <{\epsilon }_0$, the problem $P_{\varepsilon }:-\Delta u_{\varepsilon }=u_{\varepsilon }^{\left(n+2\right)/\left(n-2\right)},u_{\varepsilon }>0$ in $A_{\varepsilon }$; $u_{\varepsilon }=0$ on $\partial A_{\varepsilon }$, has no solution $u_{\epsilon }$, whose energy, ${\int }_{A_{\epsilon }}|\nabla u_{\epsilon }{|}^2$, is less than $C$, where $A_{\epsilon }$ is a ringshaped open set in $R^n$ and $n⩾4$.

Résumé

Etant donné une constante positive $C$ arbitraire, nous montrons qu'il existe ${\epsilon }_0>0$ tel que pour tout $\epsilon <{\epsilon }_0$, le problème $p_{\varepsilon }:-\Delta u_{\varepsilon }=u_{\varepsilon }^{\left(n+2\right)/\left(n-2\right)},u_{\varepsilon }>0$ dans $A_{\varepsilon }$; $u_{\varepsilon }=0$ sur $\partial A_{\varepsilon }$, ne possède pas de solution $u_{\epsilon }$ dont l'energie, ${\int }_{A_{\epsilon }}|\nabla u_{\epsilon }{|}^2$, est plus petite que $C$, où $A_{\epsilon }$ est un ouvert de $R^n$ ayant la forme d'un anneau et $n⩾4$.