JournalsaihpcVol. 25, No. 1pp. 121–133

Semi-strong convergence of sequences satisfying a variational inequality

  • Marc Briane

    Centre de Mathématiques, I.N.S.A. de Rennes & I.R.M.A.R., CS 14 315, 35043 Rennes cedex, France
  • Gabriel Mokobodzki

    Équipe d'Analyse Fonctionnelle, Université Paris VI, Boîte courrier 186, 75252 Paris cedex 05, France
  • François Murat

    Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris VI, Boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
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Abstract

In this paper we study the properties of any sequence (un)n1(u_{n})_{n⩾1} weakly converging to a nonnegative function u in W01,p(Ω)W_{0}^{1,p}(\Omega ), p>1p > 1, and satisfying a variational inequality of type div(an(,un))fn−\mathrm{div}(a_{n}( \cdot ,\mathrm{∇}u_{n}))⩾f_{n}, where (an)n1(a_{n})_{n⩾1} is a suitable sequence of monotone operators and (fn)n1(f_{n})_{n⩾1} is any strongly convergent sequence in the dual space W1,p(Ω)W^{−1,p^{′}}(\Omega ). We prove that the sequence (un(1−ɛ)u)(u_{n}−(1−ɛ)u)^{−} strongly converges to 0 in W01,p(Ω)W_{0}^{1,p}(\Omega ) for any ɛ(0,1)ɛ \in (0,1). We show by a counter-example that the result does not hold true if ɛ=0ɛ = 0. A remarkable corollary of these strong ɛ-convergences is that the sequence (un)n1(u_{n})_{n⩾1} satisfies, up to a subsequence, a kind of semi-strong convergence: (un)n1(u_{n})_{n⩾1} can be bounded from below by a sequence which converges to the same limit u but strongly in W01,p(Ω)W_{0}^{1,p}(\Omega ). We also give an example of a nonnegative weakly convergent sequence which does not satisfy this semi-strong convergence property and hence cannot satisfy any variational inequality of the previous type. Finally, in the linear case of a sequence of highly-oscillating matrices, we improve the strong ɛ-convergences by replacing the arbitrary small constant ɛ>0ɛ > 0 by a sequence (ɛn)n1(ɛ_{n})_{n⩾1} converging to 0.

Résumé

Dans cet article, on étudie les propriétés de toute suite (un)n1(u_{n})_{n⩾1} qui converge faiblement dans W01,p(Ω)W_{0}^{1,p}(\Omega ), p>1p > 1, vers une fonction positive u et qui satisfait une inégalité variationnelle du type div(an(,un))fn−\mathrm{div}(a_{n}( \cdot ,\mathrm{∇}u_{n}))⩾f_{n},(an)n1(a_{n})_{n⩾1} est une suite convenable d'opérateurs monotones et où (fn)n1(f_{n})_{n⩾1} est une suite fortement convergente dans l'espace dual W1,p(Ω)W^{−1,p^{′}}(\Omega ). On montre que, pour tout ɛ]0,1[ɛ \in ]0,1[, la suite (un(1−ɛ)u)(u_{n}−(1−ɛ)u)^{−} converge fortement vers 0 dans W01,p(Ω)W_{0}^{1,p}(\Omega ), et, à l'aide d'un contre-exemple, que cette convergence n'est pas en général vraie lorsque ɛ=0ɛ = 0. Un corollaire remarquable de ces ɛ-convergences fortes est que la suite (un)n1(u_{n})_{n⩾1} satisfait, à une sous-suite près, une sorte de semi-convergence forte : la suite (un)n1(u_{n})_{n⩾1} peut en effet être minorée par une suite qui converge fortement dans W01,p(Ω)W_{0}^{1,p}(\Omega ) vers la même limite u. On explicite aussi un exemple d'une suite positive et faiblement convergente qui ne vérifie pas la semi-convergence forte et qui par conséquent, n'est solution d'aucune inéquation variationnelle du type précédent. Enfin, dans le cas linéaire d'une suite fortement oscillante de matrices, on améliore la ɛ-convergence en remplaçant la constante arbitraire ɛ>0ɛ > 0 par une suite (ɛn)n1(ɛ_{n})_{n⩾1} convergeant vers 0.

Cite this article

Marc Briane, Gabriel Mokobodzki, François Murat, Semi-strong convergence of sequences satisfying a variational inequality. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 25 (2008), no. 1, pp. 121–133

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2006.11.004