Semi-strong convergence of sequences satisfying a variational inequality

Abstract

In this paper we study the properties of any sequence $(u_n{)}_{n⩾1}$ weakly converging to a nonnegative function $u$ in $W_0^{1,p}(\Omega )$, $p>1$, and satisfying a variational inequality of type $-\mathrm{div}(a_n(\cdot ,\nabla u_n))⩾f_n$, where $(a_n{)}_{n⩾1}$ is a suitable sequence of monotone operators and $(f_n{)}_{n⩾1}$ is any strongly convergent sequence in the dual space $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$. We prove that the sequence $(u_n-(1-\varepsilon )u{)}^{-}$ strongly converges to 0 in $W_0^{1,p}(\Omega )$ for any $\varepsilon \in (0,1)$. We show by a counter-example that the result does not hold true if $\varepsilon =0$. A remarkable corollary of these strong $\varepsilon$-convergences is that the sequence $(u_n{)}_{n⩾1}$ satisfies, up to a subsequence, a kind of semi-strong convergence: $(u_n{)}_{n⩾1}$ can be bounded from below by a sequence which converges to the same limit $u$ but strongly in $W_0^{1,p}(\Omega )$. We also give an example of a nonnegative weakly convergent sequence which does not satisfy this semi-strong convergence property and hence cannot satisfy any variational inequality of the previous type. Finally, in the linear case of a sequence of highly-oscillating matrices, we improve the strong $\varepsilon$-convergences by replacing the arbitrary small constant $\varepsilon >0$ by a sequence $({\varepsilon }_n{)}_{n⩾1}$ converging to 0.

Résumé

Dans cet article, on étudie les propriétés de toute suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ qui converge faiblement dans $W_0^{1,p}(\Omega )$, $p>1$, vers une fonction positive $u$ et qui satisfait une inégalité variationnelle du type $-\mathrm{div}(a_n(\cdot ,\nabla u_n))⩾f_n$, où $(a_n{)}_{n⩾1}$ est une suite convenable d'opérateurs monotones et où $(f_n{)}_{n⩾1}$ est une suite fortement convergente dans l'espace dual $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$. On montre que, pour tout $\varepsilon \in ]0,1[$, la suite $(u_n-(1-\varepsilon )u{)}^{-}$ converge fortement vers 0 dans $W_0^{1,p}(\Omega )$, et, à l'aide d'un contre-exemple, que cette convergence n'est pas en général vraie lorsque $\varepsilon =0$. Un corollaire remarquable de ces $\varepsilon$-convergences fortes est que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ satisfait, à une sous-suite près, une sorte de semi-convergence forte : la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ peut en effet être minorée par une suite qui converge fortement dans $W_0^{1,p}(\Omega )$ vers la même limite $u$. On explicite aussi un exemple d'une suite positive et faiblement convergente qui ne vérifie pas la semi-convergence forte et qui par conséquent, n'est solution d'aucune inéquation variationnelle du type précédent. Enfin, dans le cas linéaire d'une suite fortement oscillante de matrices, on améliore la $\varepsilon$-convergence en remplaçant la constante arbitraire $\varepsilon >0$ par une suite $({\varepsilon }_n{)}_{n⩾1}$ convergeant vers 0.