$C^1$-regularity of the Aronsson equation in $R^2$

Abstract

For a nonnegative, uniformly convex $H\in C^2({\mathbf{R}}^2)$ with $H(0)=0$, if $u\in C(\Omega )$, $\Omega \subset {\mathbf{R}}^2$, is a viscosity solution of the Aronsson equation (1.7), then $u\in C^1(\Omega )$. This generalizes the $C^1$-regularity theorem on infinity harmonic functions in ${\mathbf{R}}^2$ by Savin [O. Savin, $C^1$-regularity for infinity harmonic functions in dimensions two, Arch. Ration. Mech. Anal. 176 (3) (2005) 351–361] to the Aronsson equation.

Résumé

Si $H\in C^2({\mathbf{R}}^2)$ est une fonction uniformément convexe telle que $H(0)=0$, et si $u\in C(\Omega ),\Omega \subset {\mathbf{R}}^2$, est une solution de viscosité de l'équation d'Aronsson (1.7), alors $u\in C^1(\Omega )$. Ceci généralise à l'équation d'Aronsson le théorème de $C^1$-régularité de Savin [O. Savin, $C^1$-regularity for infinity harmonic functions in dimensions two, Arch. Ration. Mech. Anal. 176 (3) (2005) 351–361] pour les fonctions $\infty$-harmoniques dans ${\mathbf{R}}^2$.