Sur une généralisation de l’inégalité de Wirtinger

B. Dacorogna; W. Gangbo; N. Subía

doi:10.1016/s0294-1449(16)30249-9

JournalsaihpcVol. 9, No. 1pp. 29–50

Sur une généralisation de l’inégalité de Wirtinger

B. Dacorogna
École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 1015 Lausanne, Suisse
W. Gangbo
École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 1015 Lausanne, Suisse
N. Subía
Escuela Politécnica Nacional, P.O. Box 2759, Quito, Equateur

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Abstract

A generalization of Wirtinger’s inequality. – Let

α_{I} = α_{I} (p, q) = min {\frac{∥ u ^{'} ∥ _{L^{p}}}{∥ u ∥ _{L^{q}}} ∣ u \in W^{1, p} (- 1, 1) {0}, u (- 1) = u (1), \int_{- 1}^{1} u ∣ u ∣^{q - 2} = 0},

α_{II} = α_{II} (p, q) = min {\frac{∥ u ^{'} ∥ _{L^{p}}}{∥ u ∥ _{L^{q}}} ∣ u \in W^{1, p} (- 1, 1) {0}, u (- 1) = u (1), \int_{- 1}^{1} u = 0} .

We compute explicitly αI, and we show that for $q ≦ 2 p$ , $α_{I} = α_{II}$ while for $q$ sufficiently large $α_{II} < α_{I}$ .

Résumé

Soient

α_{I} = α_{I} (p, q) = min {\frac{∥ u ^{'} ∥ _{L^{p}}}{∥ u ∥ _{L^{q}}} ∣ u \in W^{1, p} (- 1, 1) {0}, u (- 1) = u (1), \int_{- 1}^{1} u ∣ u ∣^{q - 2} = 0},

α_{II} = α_{II} (p, q) = min {\frac{∥ u ^{'} ∥ _{L^{p}}}{∥ u ∥ _{L^{q}}} ∣ u \in W^{1, p} (- 1, 1) {0}, u (- 1) = u (1), \int_{- 1}^{1} u = 0} .

On calcule explicitement αI, et on montre que pour $q ≦ 2 p$ , $α_{I} = α_{II}$ , mais pour $q$ suffisamment grand $α_{II} < α_{I}$ .

Cite this article

B. Dacorogna, W. Gangbo, N. Subía, Sur une généralisation de l’inégalité de Wirtinger. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 9 (1992), no. 1, pp. 29–50

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30249-9