A priori bounds and renormalized Morse indices of solutions of an elliptic system

Abstract

We define a “renormalized” Morse index, and prove a Bahri–Lions type result for critical points of $(u,v)={\int }_{\Omega }\{\nabla u\cdot \nabla v-H(x,u,v)\}dx$; i.e., we establish an a priori bound for critical points with bounded Morse index.

Résumé

Nous définissons un indice de Morse généralisé pour les points critiques de la fonction $(u,v)={\int }_{\Omega }\{\nabla u\cdot \nabla v-H(x,u,v)\}dx$ défini sur $H_0^1(\Omega )\times H_0^1(\Omega )$.

Le but principal de ce travail est la démonstration d’une estimation de type Bahri–Lions [2] pour les points critiques. Nous montrons pour chaque entier $m\in N$ que l’ensemble des points critiques dont l’indice renormalisé $\mu$ satisfait $\mu \le m$ est borné dans $L^{\infty }(\Omega )\times L^{\infty }(\Omega )$.