Prescribing the Jacobian determinant in Sobolev spaces

Abstract

Let $\Omega$ be a bounded domain in ${\mathrm{R}}^n$ with regular boundary. In this paper, we study the equations of the type $\det (\nabla u(x))=f$ in $\Omega$ and $u(x)=x$ on $\partial \Omega$ where $f$ lies in some Sobolev spaces. We establish some existence and non-existence results. A discussion of general cases is also included.

Résumé

Soit $\Omega$ un domaine borné régulier de ${\mathrm{R}}^n$. Dans cet article, nous allons étudier les équations du type $\det (\nabla u(x))=f$ dans $\Omega$ et $u(x)=x$ sur $\partial \Omega$ avec $f$ appartenant à certains espaces de Sobolev. Nous établissons quelques résultats d′existence et de non-existence. Une discussion pour des cas généraux est aussi incluse.