Plenty of elliptic islands for the standard family of area preserving maps

Abstract

For the Standard Map, a well-known family of conservative diffeomorphisms on the torus, we construct large basic sets which fill in the torus as the parameter runs to $\infty$. Then we prove that, for a residual set of large parameters, these basic sets are accumulated by elliptic periodic islands. We also show that there exists a $k_0>0$ and a dense set of parameters in $[k_0,\infty )$ for which the standard map exhibits homoclinic tangencies.

Résumé

Pour l’application Standard, une famille bien connue des difféomorphismes conservatives sur le Tore, on construit des ensembles hyperboliques qui remplissent le tore lorsque le paramètre tend vers l’infini. On démontre alors que pour un ensemble résiduel de grands paramètres ces ensembles hyperboliques sont accumulés par des îles elliptiques périodiques. Nous montrons aussi qu’il existe $k_0>0$ et un ensemble dense des paramètres dans $[k_0,\infty )$ pour lesquels l’application Standard présente des tangences homoclines.