A continuous version of Liapunov’s convexity theorem

Abstract

Given a continuous map $s\mapsto {\mu }_s$, from a compact metric space into the space of nonatomic measures on $T$, we show the existence of a family $({\mathrm{A}}_{\alpha }^s{)}_{\alpha \in \left[0,1\right]}$, increasing in $\alpha$ and continuous in $s$, such that

Résumé

Étant donnée une application continue $s\mapsto {\mu }_s$, d’un espace métrique compact dans l’espace des mesures nonatomiques sur $T$, nous montrons l’existence d’une famille $({\mathrm{A}}_{\alpha }^s{)}_{\alpha \in \left[0,1\right]}$, croissante avec $\alpha$ et continue en $s$, telle que