Asymptotic solutions for large time of Hamilton–Jacobi equations in Euclidean n space

Abstract

We study the large time behavior of solutions of the Cauchy problem for the Hamilton–Jacobi equation $u_t+H(x,Du)=0$ in ${\mathbf{R}}^n\times (0,\infty )$, where $H(x,p)$ is continuous on ${\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^n$ and convex in $p$. We establish a general convergence result for viscosity solutions $u(x,t)$ of the Cauchy problem as $t\to \infty$.

Résumé

Nous étudions le comportement en temps grand des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Hamilton–Jacobi $u_t+H(x,Du)=0$ dans ${\mathbf{R}}^n\times (0,\infty )$, où $H(x,p)$ est continu dans ${\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^n$ et convexe en $p$. Nous établissons un résultat de convergence général pour les solutions de viscosité $u(x,t)$ du problème de Cauchy quand $t\to \infty$.