The relaxed energy for $S^2$-valued maps and measurable weights

Abstract

We compute explicitly a relaxed type energy for maps $u:\Omega \subset {\mathbb{R}}^3\to S^2$. The explicit formula involves the length of a minimal connection relative to some specific distance connecting the topological singularities of $u$ and associated to a measurable weight function. This result generalizes a previous result of F. Bethuel, H. Brezis and J.M. Coron.

Résumé

Nous calculons explicitement une énergie de type relaxée pour des applications $u:\Omega \subset {\mathbb{R}}^3\to S^2$. La formule explicite fait intervenir la longueur d'une connexion minimale relative à une certaine distance, connectant les singularités topologiques de $u$ et associée à une fonction de poids mesurable. Ce résultat généralise un résultat antérieur de F. Bethuel, H. Brezis et J.M. Coron.