Stable intersections of Cantor sets and homoclinic bifurcations

Abstract

We study intersections of dynamically defined Cantor sets and consequences to dynamical systems. The concept of stable intersection of two dynamically defined Cantor sets is introduced. We prove that if the stable and unstable Cantor sets associated to a homoclinic bifurcation have a stable intersection, then there are open sets in the parameter line with positive density at the initial bifurcating value, for which the corresponding diffeomorphisms are not hyperbolic. We present conditions more general than the ones previously known that assure stable intersections. We also present conditions for hyperbolicity to be of positive density at homoclinic bifurcations. This allow us to provide persistent one-parameter families of homoclinic bifurcations that present both hyperbolicity and homoclinic tangencies with positive density at the initial bifurcating value in the parameter line.

Résumé

Nous étudions des intersections d’ensembles de Cantor et ses conséquences sur les systèmes dynamiques. Le concept d’intersection stable de deux ensembles de Cantor dynamiquement définis est ici introduit. Nous prouvons que si les ensembles de Cantor stable et instable associés à une bifurcation homoclinique ont une intersection stable, alors il y a des ensembles ouverts dans la ligne de paramètres avec densité positive dans la valeur initiale de bifurcation pour lesquels les difféomorphismes ne sont pas hyperboliques.

Nous présentons des conditions qui assurent des intersections stables, plus générales que les conditions préalablement connues. Nous présentons aussi des conditions pour que l’hyperbolicité ait densité positive aux bifurcations homocliniques. Cela nous permet de présenter des exemples persistents de familles de bifurcations homocliniques à un paramètre qui présentent en même temps de l’hyperbolicité et des tangences homocliniques avec densité positive dans la valeur initiale de bifurcation dans la ligne de paramètre.