Estimates for solutions of nonlinear variational inequalities

Abstract

We prove a pointwise estimate for the solution $u$ of a nonlinear variational inequality in terms of a function which is solution of a suitable variational inequality with spherically symmetric data. Using this result a lower bound for the measure of the set $\{x:u(x)=0\}$ and a priori estimates for the $L^p$-norm and the $W_0^{1,p}$-norm of $u$ are obtained. An existence result is also given.

Résumé

On démontre une estimation ponctuelle pour la solution $u$ d’une inéquation variationnelle non linéaire en fonction de la solution d’une inéquation variationnelle opportune dont les données sont à symétrie sphérique. En utilisant ce résultat on obtient une borne inférieure de la mesure de l’ensemble $\{x:u(x)=0\}$ et une estimation a priori des normes $L^p$ et $W_0^{1,p}$ de $u$. De plus est donné un résultat d’existence.