Zéro-cycles sur les surfaces de del Pezzo (Variations sur un thème de Daniel Coray)

Abstract

Soit $X$ une surface projective, lisse, géométriquement rationnelle sur un corps de caractéristique zéro. On lui associe deux entiers $N(X)$ et $M(X)$, fonctions simples du carré de la classe canonique. On établit les propriétés suivantes. (a) Si le pgcd des degrés des points fermés sur $X$ est $1$, alors il existe des points fermés dont les degrés sont au plus égaux à $N(X)$ et sont premiers entre eux dans leur ensemble. (b) Si $X$ possède un point rationnel, alors tout zéro-cycle sur $X$ de degré au moins égal à $M(X)$ est rationnellement équivalent à un zéro-cycle effectif, et les points fermés de degré au plus égal à $M(X)$ engendrent le groupe de Chow des zéro-cycles de $X$. Le résultat (a) généralise un théorème de Daniel Coray sur les surfaces cubiques (1974). Une combinaison de théorèmes de Bertini et d'utilisation de corps fertiles rend ici ses arguments plus flexibles. On établit ensuite les résultats par considération des différents types birationnels de surfaces géométriquement rationnelles: surfaces de del Pezzo et surfaces fibrées en coniques (ces dernières déjà étudiées avec D. Coray en 1979). Un dernier paragraphe discute l'existence de points fermés de degré 3 non alignés sur une surface cubique sans point rationnel. On la relie à la question de la densité des points rationnels sur une surface de del Pezzo de degré 1. ___________ Let $X$ be a smooth, projective, geometrically rational surface over a field of characteristic zero. To any such surface one associates two integers $N(X)$ and $M(X)$ which are simple functions of the square of the canonical class. We prove: (a) If the gcd of the degrees of closed points on $X$ is $1$, then there exist closed points on $X$ the degrees of which are coprime to one another as a whole and are less than or equal to $N(X)$. (b) If $X$ has a rational point, then any zero-cycle on $X$ of degree at least equal to $M(X)$ is rationally equivalent to an effective cycle. Effective zero-cycles of degree less than or equal to $M(X)$ generate the Chow group of $X$. Result (a) extends a theorem on cubic surfaces obtained by Daniel Coray in his thesis (1974). Combining Bertini theorems and large fields, we introduce some flexibility in his method. The results (a) and (b) then follow from a case by case analysis of the various birational equivalence classes of geometrically rational surfaces: del Pezzo surfaces and conic bundle surfaces (the latter type had been handled with D. Coray in 1979). In a last section, for smooth cubic surfaces without a rational point, we relate the question whether there exists a degree 3 point which is not on a line to the question whether rational points are dense on a del Pezzo surface of degree 1.