Transformées de Fourier des fonctions d’invariance hyperbolique sur ${\mathbb{R}}^2$

Abstract

On sait que sur ${\mathbb{R}}^n$ la transformée de Fourier d’une fonction radiale est donnée par une tranformation de Hankel. On s’intéresse ici aux fonctions sur ${\mathbb{R}}^2$ d’invariance hyperbolique, i.e. de la forme $f(x,y)=F(T)$, $T=|xy|$. Dans ce cas on montre, sous des hypothèses convenables, que la transformée de Fourier de $f$ (vue comme une distribution) est donnée de même par une fonction $G(T)$, et que l’application $F\mapsto G$ s’étend en une isométrie de $L^2(\mathbb{R})$. Notre exposé simplifie et éclaire des résultats antérieurs.