Sur la fidélité de certaines représentations de ${\mathrm{GL}}_2(F)$ sous une algèbre d'Iwasawa

Abstract

Résumé

Soit $F$ une extension finie de ${\mathbb{Q}}_p$,d'anneau des entiers ${\mathcal{O}}_F$ et $E$ une extension de ${\mathbb{F}}_p$. L'action naturelle de ${\mathcal{O}}_F^{\times }$ sur ${\mathcal{O}}_F$ se prolonge alors en une action continue sur l'algèbre d'Iwasawa $E[[{\mathcal{O}}_F]]$. Dans ce travail, on démontre que les idéaux non nuls de $E[[{\mathcal{O}}_F]]$ stables par ${\mathcal{O}}_F^{\times }$ sont ouverts. En particulier, on déduit la fidélité de l'action de l'algèbre d'Iwasawa des matrices unipotentes supérieures de ${\mathrm{GL}}_2({\mathcal{O}}_F)$ sur une représentation lisse irréductible de dimension infinie de ${\mathrm{GL}}_2(F)$.